【导读】

四川事业单位考试网为帮助各位考生顺利备考事业单位招聘考试，今天为大家带来数量关系：异素分堆，在混乱中看清本源。

各位同学大家好，相信大家在备考数量关系时，对于排列组合的题目都感觉比较头疼，而在排列组合问题中，分堆问题又是比较容易弄错或者产生混乱的一类题型。分堆问题主要分为同素分堆和异素分堆，同素分堆问题其实就是隔板模型，共有三种常见考法，都可以采用隔板法进行求解，难度并不是太高;但是异素分堆问题，本身并没有固定的解法，而且由于其本身的特殊性，是否需要乘以顺序就成了学生最困惑的问题。那么，各位亲爱的同学们，请问你是否也有这样的困惑呢?

那么本期，老师就给大家总结一下这类看似复杂、混乱的异素分堆问题，怎么去做才能不会出错，同时，也会把常考的异素分堆问题的最优解法，给各位同学们总结清楚。那么接下来，请大家跟着老师好好学，仔细阅读这篇文章，你应该会有所收获的!

方法精讲

异素分堆问题，在常考题型中主要分为两种：异素均匀分堆和异素不均匀分堆。

这两者有什么区别呢?我们先来看看异素均匀分堆：

所谓的异素，就是指被分的元素是不相同的，有区别的。均匀分堆，则是指分完后每一堆的数量一样，比如说四个不同颜色的小球，分作两份，每份分两个，这就是异素均分。

那么异素均分问题怎么解呢?我们先来看一个例题：

【例1】将甲、乙、丙、丁四个工作人员分作两个小组，每组两人，有多少种分法?

根据上面的描述我们知道，这是一道异素均分问题。根据题意，首先应该从四个人中选取两人，剩下的两人自行组成一组，根据这种想法，列式应该是种分法。但是根据常识我们知道，四个工作人员分成两个小组，应该只能分成(甲乙、丙丁)，(甲丙、乙丁)，(甲丁、乙丙)3种情况。那也就是说，在原列式中出现了重复。问题出现在哪里呢?我们一起思考一下，原列式是，如果第一次选择的是甲乙两个工作人员，那么剩下的就是丙丁;但如果第一次选择的是丙丁两个工作人员，那么剩下的就是甲乙。你会发现，这两种选择方法最终形成的两组人员都是(甲乙、丙丁),他是没有区别的、是重复的。因为如果是分成两个均等的小组，那么在原列式上还要再除以一个，才是不重复的正确列法，即是种分法。

所以，这个一直困惑我们的重复在哪里的问题，各位同学现在应该清楚了吧?

但是我们的异素均分问题，其实还有一种分堆后还需要分配的问题，这种题型和刚才的问题有什么区别呢?让我们一起来看一道例题：

【例2】将甲、乙、丙、丁四个工作人员分作两个小组，每组两人，分别去A、B两个地区工作，有多少种分法?

根据上面的描述我们知道，这是一道异素均分问题。根据题意，首先应该从四个人中选取两人，剩下的两人自行组成一组，形成两个两人小组之后再进行分配。根据上一题的分析，分成两个两人小组的正确列式应该是种分法。然后再进行对A、B两个地区的分配，两个小组分配给A、B两个地区，应乘以，所以总列式为种。同学们会发现，此时的列式化简后，相当于。

也可以这么理解，在异素均分的分配中，可以“指定地方去安排人”，比如这个题，我先给A地区派人，为，接下来再给B地方派人，为，所以共有种不同的分法。当我们指定地方去安排人时，在分好组时就已经考虑了排序在其中，因此就没有必要再进行全排列了，是相对最简单的一种操作。

那么，学完异素均匀分堆之后，让我们再来看看异素不均匀分堆：

不均匀分堆，是指分完后每一堆的数量不一样，比如说六个不同颜色的小球，分作三份，第一份3个，第二份2个，第三份1个，这就是异素不均匀分堆。

那么异素不均匀分堆的问题怎么解呢?我们来看一个例题：

【例3】书架上有6本不同的书，分为3组，其中每组分别有1、2、3本，则有多少种不同的分法?

根据上面的描述我们知道，这是一道异素不均匀分堆的问题。根据题意，我们可以先从6本中选取一本，形成1本的那组，即，接下来再从剩余五本中选取2本，形成2本的那组，即，最后从剩余的三本中选取三本，形成3本的那种，即，所以总列式为种。此时是不需要跟异素均分一样去考虑是否会选取重复的，这是为什么呢?因为我们此时选出来的每一组的数目都是不同的，是根本不可能出现重复的，所以并不需要像异素均分那样去除以，直接便是正确的列式了。

现在，各位同学能看出异素分堆中均分和不均分的差别吗?其实就是均分会出现重复选取的问题，需要除以;而不均分是不会出现重复选取的问题的，不需要除以。

但是我们的异素不均分的问题，其实还有一种分堆后还需要分配的问题，这种题型和刚才的问题有什么区别呢?让我们一起来看一道例题：

【例4】书架上有6本不同的书，分给甲乙丙三人，有一个人分1本，有一个人分2本，另外一个人分3本，则有多少种不同的分法?

根据上面的描述我们知道，这是一道异素不均匀分堆的问题。根据题意，我们可以先把6本书按照要求不均匀地分为三个组，然后再分配给三个人，要乘以。首先，要从6本中选取一本，形成1本的那组，即，接下来再从剩余五本中选取2本，形成2本的那组，即，最后从剩余的三本中选取三本，形成3本的那种，即，分堆的列式为种，然后再分配给甲、乙、丙三个人，是全排列的算法，要乘以一个，所以总的列式为种。

看完了上面四道例题，它们代表的就是异素分堆常考的所有四种类型。同学们现在能够分清这四种类型的区别和最优解法了吗?让我们一起来总结一下吧。

二、方法总结

1.异素均匀分堆，不需要分配时：

如n个元素，平均分成m堆，如果说每堆都可以分到k个，那么列式为：

。

2.异素均匀分堆，需要分配时：

如n个元素，平均分成m堆并且分配给m个对象，如果说每堆都可以分到k个，那么列式为：

。

3.异素不均匀分堆，不需要分配时：

如n个元素，平均分成m堆，如果说第一堆分到k1个，第二堆分到k2个，……，以此类推，那么列式为：

。

4.异素不均匀分堆，不需要分配时：

如n个元素，平均分成m堆，如果说第一堆分到k1个，第二堆分到k2个，……，以此类推，那么列式为：

×。

以上便是异素分堆常考的所有四种类型。通过这个总结，相信同学们应该对这类题目更加清楚了吧，好好进行学习和消化，相信以后遇到这类题目，应该就不会那么头疼了。希望同学们可以再去多做几道题目，体验一下我们总结的方法和公式，相信你以后做题会更加得心应手，更加信手拈来。

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